Интегралы обучение с примерами. Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений. Какие интегралы будут рассмотрены
Слово «интеграл» происходит от латинского integralis - целостный. Это название предложил в 17 в. ученик великого Лейбница (и также выдающийся математик) И. Бернулли. А что такое интеграл в современном понимании? Ниже мы постараемся дать всесторонний ответ на этот вопрос.
Исторические предпосылки возникновения понятия интеграла
В начале 17 в. в рассмотрении ведущих ученых находилось большое число физических (прежде всего механических) задач, в которых нужно было исследовать зависимости одних величин от других. Самыми наглядными и насущными проблемами были определение мгновенной скорости неравномерного движения тела в любой момент времени и обратная этой задача нахождения величины пути, пройденного телом за определенный промежуток времени при таком движении. Сегодня мы уже знаем, что такое интеграл от скорости движения - это и есть пройденный путь. Но понимание того, как его вычислять, зная скорость в каждый момент времени, появилось не сразу.
Поначалу из рассмотрения таких зависимостей физических величин, например, пути от скорости, было сформировано математическое понятие функции y = f(x). Исследование свойств различных функций привело к зарождению математического анализа. Ученые активно искали способы изучения свойств различных функций.
Как возникло вычисление интегралов и производных?
После создания Декартом основ аналитической геометрии и появления возможности изображать функциональные зависимости графически в осях декартовой системы координат, перед исследователями встали две крупные новые задачи: как провести касательную к кривой линии в любой ее точке и как найти площадь фигуры, ограниченной сверху этой кривой и прямыми, параллельными осям координат. Неожиданным образом оказалось, что первая из них эквивалентна нахождению мгновенной скорости, а вторая - нахождению пройденного пути. Ведь он при неравномерном движении изображался в декартовых осях координат «расстояние» и «время» некоторой кривой линией.
Гением Лейбница и Ньютона в середине 17 в. были созданы методы, позволившие решать обе эти задачи. Оказалось, что для проведения касательной к кривой в точке нужно найти величину так называемой производной от функции, описывающей эту кривую, в рассматриваемой ее точке, и эта величина оказывается равной скорости изменения функции, т. е. применительно к зависимости «путь от скорости» собственно мгновенной скоростью тела.
Для нахождения же площади, ограниченной кривой линией, следовало вычислить определенный интеграл, который давал ее точную величину. Производная и интеграл - основные понятия дифференциального и интегрального исчисления, являющихся базисом современного матанализа - важнейшего раздела высшей математики.
Площадь под кривой линией
Итак, как же определить ееточную величину? Попробуем раскрыть процесс ее вычисления через интеграл подробно, с самых азов.
Пусть f является непрерывной на отрезке функцией. Рассмотрим кривую у = f(x), изображенную на рисунке ниже. Как найти площадь области, ограниченной кривой), осью х, и линиями х = а и х = b? То есть площадь заштрихованной фигуры на рисунке.
Самый простой случай, когда f является постоянной функцией; то есть, кривая есть горизонтальная линия f(X) = k, где k постоянная и k ≥ 0, как показано на рисунке ниже.
В этом случае область под кривой - всего лишь прямоугольник с высотой k и шириной (b - a), так что площадь определяется как: k · (b - а).
Области некоторых других простых фигур, таких как треугольник, трапеция и полуокружность, даются формулами из планиметрии.
Площадь под любой непрерывной кривой у = f(х) дается определенным интегралом, который записывается так же, как обычный интеграл.
Риманова сумма
Прежде чем погрузиться в подробный ответ на вопрос, что такое интеграл, выделим некоторые основные идеи.
Во-первых, область под кривой делится на некоторое число n вертикальных полос достаточно малой ширины Δx. Далее каждая вертикальная полоса заменяется вертикальным прямоугольником высотой f(х), шириной Δx, и площадью f(х)dx. Следующим шагом является формирование суммы площадей всех этих прямоугольников, называемой Римановой суммой (смотрите рисунки ниже).
Рисуя наши прямоугольники шириной Δx, мы можем брать их высоту, равную значению функции на левом краю каждой полоски, т. е. на кривой будут лежать крайние левые точки их верхних коротких сторон шириной Δx. При этом на участке, где функция растет, и ее кривая является выпуклой, все прямоугольники оказываются ниже этой кривой, т. е. их сумма будет заведомо меньшей точной величины площади под кривой на этом участке (см. рисунок ниже). Такой способ аппроксимации называется левосторонним.
В принципе, можно нарисовать аппроксимирующие прямоугольники таким образом, чтобы на кривой лежали крайние правые точки их верхних коротких сторон шириной Δx. Тогда они будут выше кривой, и приближение площади на этом участке окажется больше ее точной величины, как показано на рисунке ниже. Этот способ носит название правостороннего.
Но мы можем также взять высоту каждого из аппроксимирующих прямоугольников, равной просто некоторому значению функции в произвольной точке x* i внутри соответствующей полоски Δx i (смотри рис. ниже). При этом мы даже можем не брать одинаковую ширину всех полосок.
Составим Риманову сумму:
Переход от Римановой суммы к определенному интегралу
В высшей математике доказывается теорема, которая гласит, что если при неограниченном возрастании числа n аппроксимирующих прямоугольников наибольшая их ширина стремится к нулю, то Риманова сумма A n стремится к некоторому пределу A. Число A - одно и то же при любом способе образования аппроксимирующих прямоугольников и при любом выборе точек x* i .
Наглядное пояснение теоремы дает рисунок ниже.
Из него видно, что, чем уже прямоугольники, тем ближе площадь ступенчатой фигуры к площади под кривой. При числе прямоугольников n→∞ их ширина Δx i →0, а предел A суммы A n численно равен искомой площади. Этот предел и есть определенный интеграл функцииf (х):
Символ интеграла, представляющий собой видоизмененную курсивную литеру S, был введен Лейбницем. Ставить сверху и снизу обозначения интеграла его пределы предложил Ж. Б. Фурье. При этом ясно указывается начальное и конечное значение x.
Геометрическое и механическое истолкование определенного интеграла
Попробуем дать развернутый ответ на вопрос о том, что такое интеграл? Рассмотрим интеграл на отрезке от положительной внутри него функции f(х), причем считаем, что верхний предел больше нижнего a Если ординаты функции f(х) отрицательны внутри , то абсолютное значение интеграла равно площади между осью абсцисс и графиком y=f(х), сам же интеграл отрицателен. В случае же однократного или неоднократного пересечения графиком y=f(х) оси абсцисс на отрезке , как показано на рисунке ниже, для вычисления интеграла нужно определить разность, в которой уменьшаемое будет равно суммарной площади участков, находящихся над осью абсцисс, а вычитаемое - суммарной площади участков, находящихся под ней. Так, для функции, показанной на рисунке выше, определенный интеграл от a до b будет равен (S1 + S3) - (S2+S4). Механическое истолкование определенного интеграла тесно связано с геометрическим. Вернемся к разделу «Риманова сумма» и представим, что приведенный на рисунках график выражает функцию скорости v=f(t) при неравномерном движении материальной точки (ось абсцисс является осью времени). Тогда площадь любого аппроксимирующего прямоугольника шириной Δt, который мы строили при формировании Римановой суммы, будет выражать приближенно путь точки за время Δt, а именно v(t*)Δt. Полная сумма площадей прямоугольников на отрезке от t 1 =a до t 2 =b выразит приближенно путь s за время t 2 - t 1 , а предел ее, т. е. интеграл (определенный) от a до b функции v = f(t) по dt даст точное значение пути s. Если вернуться к его обозначению, то вполне можно предположить, что a = const, а b является конкретным значением некоторой независимой переменной x. Тогда определенный интеграл с верхним пределом x̃ из конкретного числа превращается в функцию от x̃. Такой интеграл равен площади фигуры под кривой, обозначенной точками aABb на рисунке ниже. При неподвижной линии aA и подвижной Bb эта площадь становится функцией f(x̃), причем приращения Δx̃ по-прежнему откладываются вдоль оси х, а приращением функции f(x̃) являются приращения площади под кривой. Предположим, что мы дали переменной x̃ = b некоторое малое приращение Δx̃. Тогда приращение площади фигуры aABb складывается из площади прямоугольника (заштрихован на рисунке) Bb∙Δx̃ и площади фигуры BDC под кривой. Площадь прямоугольника равна Bb∙Δx̃ = f(x̃)Δx̃, т.е она является линейной функцией приращения независимой переменной. Площадь же фигуры BDC заведомо меньше, чем площадь прямоугольника BDCK = Δx̃∙Δy, и при стремлении Δx̃ →0 она уменьшается еще быстрее него. Значит, f(x̃)Δx̃ = f(x̃)dx̃ есть дифференциал переменной площади aABb, т. е. дифференциал определенного интеграла Отсюда можно заключить, что вычисление интегралов заключается в разыскании функций по заданным выражениям их дифференциалов. Интегральное исчисление как раз и представляет собой систему способов разыскания таких функций по известным их дифференциалам. Оно связывает отношения между дифференцированием и интегрированием и показывает, что существует операция, обратная дифференцированию функции, - ее интегрирование. Оно также показывает, что если любая функция f(х) непрерывна, то применением к ней этой математической операции можно найти целый ансамбль (совокупность, множество) функций, первообразных для нее (или иначе, найти неопределенный интеграл от нее). Пусть функция F(x) является обозначением результата интегрирования функции f(х). Соответствие между этими двумя функциями в результате интегрирования второй из них обозначается следующим образом: Как видно, при символе интеграла отсутствуют пределы интегрирования. Это означает, что из определенного он преобразован в неопределенный интеграл. Слово «неопределенный» означает, что результатом операции интегрирования в данном случае является не одна, а множество функций. Ведь, кроме собственно функции F(x), последним выражениям удовлетворяет и любая функция F(x)+С, где С = const. При этом подразумевается, что постоянный член в ансамбле первообразных можно задавать по произволу. Следует подчеркнуть, что, если интеграл, определенный от функции, является числом, то неопределенный есть функция, точнее, их множество. Термин «интегрирование» применяется для определения операции разыскания обоих видов интегралов. Оно представляет собой полную противоположность соответствующему правилу для дифференцирования. Как же берутся неопределенные интегралы? Примеры этой процедуры мы рассмотрим на конкретных функциях. Давайте посмотрим на степенную функцию общего вида: После того как мы сделали это с каждым слагаемым в выражении интегрируемой функции (если их несколько), мы добавляем постоянную в конце. Напомним, что взятие производной от постоянной величины уничтожает ее, поэтому взятие интеграла от любой функции даст нам восстановление этой постоянной. Мы обозначаем ее С, так как постоянная неизвестна - это может быть любое число! Поэтому мы можем иметь бесконечно много выражений для неопределенного интеграла. Давайте рассмотрим простые неопределенные интегралы, примеры взятия которых показаны ниже. Пусть нужно найти интеграл от функции: f(х) = 4x 2 + 2x - 3. Начнем с первого слагаемого. Мы смотрим на показатель степени 2 и увеличиваем его на 1, затем делим первый член на результирующий показатель 3. Получаем: 4(x 3) / 3. Затем мы смотрим на следующий член и делаем то же самое. Так как он имеет показатель степени 1, то результирующий показатель будет 2. Таким образом, мы разделим это слагаемое на 2: 2(x 2) / 2 = x 2 . Последний член имеет множитель х, но мы просто не видим его. Мы можем представить себе последнее слагаемое как (-3x 0). Это эквивалентно (-3)∙(1). Если мы используем правило интегрирования, мы добавим 1 к показателю, чтобы поднять его до первой степени, а затем разделим последний член на 1. Получим 3x. Это правило интегрирования работает для всех значений n, кроме n = - 1 (потому что мы не можем разделить на 0). Мы рассмотрели самые простой пример нахождения интеграла. Вообще же решение интегралов является делом непростым, и в нем хорошим подспорьем является уже накопленный в математике опыт. В разделе выше мы видели, что из каждой формулы дифференцирования получается соответствующая формула интегрирования. Поэтому все возможные их варианты уже давно получены и сведены в соответствующие таблицы. Нижеприведенная таблица интегралов содержит формулы интегрирования основных алгебраических функций. Эти формулы нужно знать на память, заучивая их постепенно, по мере их закрепления упражнениями. Еще одна таблица интегралов содержит основные тригонометрические функции: Оказывается, сделать это, умея интегрировать, т. е. находить неопределенные интегралы, очень просто. И помогает в этом формула основателей интегро-дифференциального исчисления Ньютона и Лейбница Согласно ей, вычисление искомого интеграла состоит на первом этапе в нахождении неопределенного, последующем вычислении значения найденной первообразной F(x) при подстановке x, равного сначала верхнему пределу, затем нижнему и, наконец, в определении разности этих значений. При этом константу С можно не записывать. т.к. она пропадает при выполнении вычитания. Рассмотрим некоторые интегралы с подробным решением. Найдем площадь участка под одной полуволной синусоидой. Вычислим заштрихованную площадь под гиперболой. Рассмотрим теперь интегралы с подробным решением,
использующим в первом примере свойство аддитивности, а во втором - подстановку промежуточной переменной интегрирования. Вычислим определенный интеграл от дробно-рациональной функции: y=(1+t)/t 3 от t=1 до t=2. Теперь покажем, как можно упростить взятие интеграла введением промежуточной переменной. Пусть нужно вычислить интеграл от (x+1) 2 . Мы говорили об определенном интеграле для конечного промежутка от непрерывной на нем функции f(х). Но ряд конкретных задач приводит к необходимости расширить понятие интеграла на случай, когда пределы (один или оба) равны бесконечности, или при разрывной функции. Например, при вычислении площадей под кривыми, асимптотически приближающимися к осям координат. Для распространения понятия интеграла на этот случай, кроме предельного перехода при вычислении Римановой суммы аппроксимирующих прямоугольников, выполняется еще один. При таком двукратном переходе к пределу получается несобственный интеграл. В противоположность ему все интегралы, о которых говорилось выше, называются собственными. Найти неопределённый интеграл (множество первообразных или "антипроизводных") означает восстановить функцию по известной производной этой функции.
Восстановленное множество первообразных F
(x
) + С
для функции f
(x
)
учитывает константу интегрирования C
.
По скорости перемещения материальной точки (производной) может быть восстановлен закон движения этой точки
(первообразная); по ускорению
движения точки - её скорость и закон движения. Как видно, интегрирование - широкое поле для
деятельности Шерлоков Холмсов от физики. Да и в экономике многие понятия представляются через функции и их
производные и поэтому, например, можно по производительности труда в определённый момент времени (производной)
восстановить объём продукции, выпущенный в соответствующее время. Чтобы найти неопределённый интеграл, требуется довольно небольшое количество основных формул
интегрирования. Но процесс его нахождения значительно труднее, чем одно лишь применение этих
формул. Вся сложность относится не к интегрированию, а к приведению интегрируемого выражения к такому виду, который
даёт возможность найти неопределённый интеграл по упомянутым выше основным формулам. Это означает, что для начала
практики интегрирования нужно активизировать полученные в средней школе навыки преобразования
выражений. Учиться находить интегралы будем, пользуясь свойствами и таблицей
неопределённых интегралов
из урока об основных понятиях этой темы (откроется в новом окне). Существует несколько методов нахождения интеграла, из которых метод замены переменной
и
метод интегрирования по частям
- обязательный джентльменский набор каждого, кто успешно сдал высшую
математику. Однако начинать осваивать интегрирование полезнее и приятнее с применением метода разложения,
основанном на следующих двух теоремах о свойствах неопределённого интеграла, которые для удобства повторим
здесь. Теорема 3.
Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е. Теорема 4.
Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций, т.е. Кроме того, в интегрировании может пригодиться следующее правило:
если выражение подынтегральной функции содержит постоянный множитель, то выражение первообразной домножается
на число, обратное постоянному множителю, то есть Поскольку этот урок - вводный в решение задач интегрирования, важно отметить
две вещи, которые либо уже на самом начальном этапе, либо несколько позже могут вас удивить. Удивление
связано с тем фактом, что интегрирование - операция обратная дифференцированию и неопределённый интеграл
можно справедливо называть "антипроизводной". Первая вещь, которой не следует удивляться при интегрировании.
В таблице интегралов существуют формулы, которые не имеют аналогов
среди формул таблицы производной
. Это следующие формулы: Однако можно убедиться в том, что производные выражений, стоящих в правых частях
этих формул, совпадают с соответствующими подынтегральными функциями. Вторая вещь, которой не следует удивляться при интегрировании
.
Хотя производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную функцию,
неопределённые интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями
. Примерами таких
интегралов могут быть следующие: Для выработки техники интегрирования пригодятся следующие навыки:
сокращение дробей, деление многочлена в числителе дроби на одночлен в знаменателе (для
получения суммы неопределённых интегралов), преобразование корней в степени, умножение одночлена на
многочлен, возведение в степень. Эти навыки нужны для преобразований подынтегрального выражения, в
результате которых должна получиться сумма интегралов, присутствующих в таблице интегралов. Пример 1.
Найти неопределённый интеграл Решение. Видим в знаменателе подынтегрального выражения многочлен, в котором икс в квадрате. Это почти верный
признак того, что можно применить табличный интеграл 21 (с арктангенсом в результате). Выносим из
знаменателя множитель-двойку (есть такое свойство интеграла - постоянный
множитель можно выносить за знак интеграла, выше оно было упомянуто как теорема 3). Результат всего этого: Теперь в знаменателе сумма квадратов, а это значит, что можем применить упомянутый
табличный интеграл. Окончательно получаем ответ: Пример 2.
Найти неопределённый интеграл Решение. Вновь применяем теорему 3 - свойство интеграла, на основании
которого постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: Применяем формулу 7 из таблицы интегралов (переменная в степени) к подынтегральной функции: Сокращаем получившиеся дроби и перед нами конечный ответ: Пример 3.
Найти неопределённый интеграл Решение. Применяя сначала теорему 4, а затем теорему 3 о свойствах, найдём
данный интеграл как сумму трёх интегралов: Все три полученные интеграла – табличные. Используем формулу (7) из таблицы интегралов при n
= 1/2, n
= 2 и n
= 1/5, и тогда объединяет все три произвольные постоянные, которые были введены при нахождении трёх интегралов. Поэтому в аналогичных ситуациях следует вводить только одну произвольную постоянную (константу) интегрирования. Пример 4.
Найти неопределённый интеграл Решение. Когда в знаменателе подынтегральной дроби - одночлен, можем почленно разделить числитель на
знаменатель. Исходный интеграл превратился в сумму двух интегралов: Чтобы применить табличный интеграл, преобразуем корни в степени и вот уже
окончательный ответ: Пример 7.
Найти неопределённый интеграл Решение. Если мы преобразуем подынтегральную функцию, возведя двучлен в квадрат и разделив почленно числитель на знаменатель, то
исходный интеграл станет суммой трёх интегралов. Если определения из учебника слишком сложны и непонятны, прочитайте нашу статью. Мы постараемся максимально просто, “на пальцах” объяснить основные моменты такого раздела математики, как определенные интегралы. Как вычисляется интеграл, читайте в данной инструкции. Конечно, здесь рассмотрены лишь самые простые варианты интегралов – определенные, на самом деле разновидностей интегралов великое множество, изучаются они в курсе высшей математики, математического анализа и дифференциальных уравнений в ВУЗах для студентов технических специальностей. Нахождение неопределенного интеграла является очень частой задачей в высшей математике и других технических разделах науки. Даже решение простейших физических задач часто не обходится без вычисления нескольких простых интегралов. Поэтому со школьного возраста нас учат приемам и методам решения интегралов, приводятся многочисленные таблицы с интегралами простейших функций. Однако со временем всё это благополучно забывается, либо у нас не хватает времени на рассчеты или нам нужно найти решение неопределеленного интеграла
от очень сложной функции. Для решения этих проблем для вас будет незаменим наш сервис, позволяющий безошибочно находить неопределенный интеграл онлайн . Онлайн сервис на сайт
позволяет находить решение интеграла онлайн
быстро, бесплатно и качественно. Вы можете заменить поиск по таблицам нужного интеграла нашим сервисом, где быстро введя нужную функции, вы получите решение неопределенного интеграла в табличном варианте. Не все математические сайты способны вычислять неопределенные интегралы функций в режиме онлайн быстро и качественно, особенно если требуется найти неопределенный интеграл
от сложной функции или таких функций, которые не включены в общий курс высшей математики. Сайт сайт
поможет решить интеграл онлайн
и справиться с поставленной задачей. Используя онлайн решение интеграла на сайте сайт, вы всегда получите точный ответ. Даже если вы хотите вычислить интеграл самостоятельно, благодаря нашему сервису вам будет легко проверить свой ответ, найти допущенную ошибку или описку, либо же убедиться в безукоризненном выполнении задания. Если вы решаете задачу и вам как вспомогательное действие необходимо вычислить неопределенный интеграл, то зачем тратить время на эти действия, которые, возможно, вы уже выполняли тысячу раз? Тем более, что дополнительные расчеты интеграла могут быть причиной описки или маленькой ошибки, приведших впоследствии к неверному ответу. Просто воспользуйтесь нашими услугами и найдите неопределенный интеграл онлайн
без каких-либо усилий. Для практических задач по нахождению интеграла
функции онлайн
этот сервер очень полезен. Необходимо ввести заданную функцию, получить онлайн решение неопределенного интеграла
и сравнить ответ с вашим решением. Калькулятор решает интегралы c описанием действий ПОДРОБНО на русском языке и бесплатно!
Это онлайн сервис в один шаг
: Это онлайн сервис в один шаг
: Данный сервис позволяет проверить свои вычисления
на правильность
Дифференциал определенного интеграла
Фундаментальное соотношение интегрального исчисления
Основное правило интегрирования
Таблицы интегралов
Как же вычислить определенный интеграл
О несобственных интегралах
(2)
(3)
Находим неопределённые интегралы вместе
.
.
.
.
Продолжаем находить неопределённые интегралы вместе
Решить неопределенный интеграл
Решение неопределённых интегралов
Решение определённых интегралов
Решение двойных интегралов
Решение несобственных интегралов
Решение тройных интегралов
Возможности