Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = а, ctgx = a — Гипермаркет знаний. Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры Решение уравнения ctg x a
Ранее по программе учащиеся получили представление о решении тригонометрических уравнений, ознакомились с понятиями арккосинуса и арксинуса, примерами решений уравнений cos t = a и sin t = a. В этом видеоуроке рассмотрим решение уравнений tg x = a и ctg x = a.
В начале изучения данной темы рассмотрим уравнения tg x = 3 и tg x = - 3. Если уравнение tg x = 3 будем решать с помощью графика, то увидим, что пересечение графиков функций y = tg x и y = 3 имеет бесконечное множество решений, где x = x 1 + πk. Значение x 1 - это координата x точки пересечения графиков функций y = tg x и y = 3. Автор вводит понятие арктангенса: arctg 3 это число, tg которого равен 3, и это число принадлежит интервалу от -π/2 до π/2. Используя понятие арктангенса, решение уравнения tg x = 3 можно записать в виде x = arctg 3 + πk.
По аналогии решается уравнение tg x = - 3. По построенным графикам функций y = tg x и y = - 3 видно, что точки пересечения графиков, а следовательно, и решениями уравнений, будет x = x 2 + πk. С помощью арктангенса решение можно записать как x = arctg (- 3) + πk. На следующем рисунке увидим, что arctg (- 3) = - arctg 3.
Общее определение арктангенса выглядит следующим образом: арктангенсом а называется такое число из промежутка от -π/2 до π/2, тангенс которого равен а. Тогда решением уравнения tg x = a является x = arctg a + πk.
Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arctg.Введем обозначения: арктангенс числа равен x, тогда tg x будет равен данному числу, где x принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. Как в примерах в предыдущих темах, воспользуемся таблицей значений. По этой таблице тангенсу данного числа соответствует значение x = π/3. Запишем решение уравнения арктангенс заданного числа равен π/3, π/3 принадлежит и интервалу от -π/2 до π/2.
Пример 2 - вычислить арктангенс отрицательного числа. Используя равенство arctg (- a) = - arctg a, введем значение x. Аналогично примеру 2 запишем значение x, которое принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. По таблице значений найдем, что x = π/3, следовательно, -- tg x = - π/3. Ответом уравнения будет - π/3.
Рассмотрим пример 3. Решим уравнение tg x = 1. Запишем, что x = arctg 1 + πk. В таблице значению tg 1 соответствует значение x = π/4, следовательно, arctg 1 = π/4. Подставим это значение в исходную формулу x и запишем ответ x = π/4 + πk.
Пример 4: вычислить tg x = - 4,1. В данном случае x = arctg (- 4,1) + πk. Т.к. найти значение arctg в данном случае нет возможности, ответ будет выглядеть как x = arctg (- 4,1) + πk.
В примере 5 рассматривается решение неравенства tg x > 1. Для решения построим графики функций y = tg x и y = 1. Как видно на рисунке, эти графики пересекаются в точках x = π/4 + πk. Т.к. в данном случае tg x > 1, на графике выделим область тангенсоиды, которая находится выше графика y = 1, где x принадлежит интервалу от π/4 до π/2. Ответ запишем как π/4 + πk < x < π/2 + πk.
Далее рассмотрим уравнение ctg x = a. На рисунке изображены графики функций у = ctg x, y = a, y = - a, которые имеют множество точек пересечения. Решения можно записать как x = x 1 + πk, где x 1 = arcctg a и x = x 2 + πk, где x 2 = arcctg (- a). Отмечено, что x 2 = π - x 1 . Из этого следует равенство arcctg (- a) = π - arcctg a. Далее дается определение арккотангенса: арккотангенсом а называется такое число из промежутка от 0 до π, котангенс которого равен а. Решение уравнения сtg x = a записывается в виде: x = arcctg a + πk.
В конце видеоурока делается еще один важный вывод - выражение ctg x = a можно записать в виде tg x = 1/a, при условии, что a не равно нулю.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:
Рассмотрим решение уравнений tg х = 3 и tg х= - 3. Решая первое уравнение графически, мы видим, что графики функций у = tg х и у = 3 имеют бесконечно много точек пересечения, абсциссы которых запишем в виде
х = х 1 + πk, где х 1 - это абсцисса точки пересечения прямой у = 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение
arctg 3 (арктангенс трех).
Как же понимать arctg 3?
Это число, тангенс которого равен 3 и это число принадлежит интервалу (- ;). Тогда все корни уравнения tg х = 3 можно записать формулой х = arctg 3+πk.
Аналогично решение уравнения tg х = - 3 можно записать в виде х = х 2 + πk, где х 2 - это абсцисса точки пересечения прямой у = - 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение arctg(-3) (арктангенс минус трех). Тогда все корни уравнения можно записать формулой: х = arctg(-3)+ πk. По рисунку видно, что arctg(- 3)= - arctg 3.
Сформулируем определение арктангенса. Арктангенсом а называется такое число из промежутка (-;), тангенс которого равен а.
Часто используют равенство: arctg(-а) = -arctg а, которое справедливо для любого а.
Зная определение арктангенса, сделаем общий вывод о решении уравнения
tg х= a: уравнение tg х = a имеет решение х = arctg а + πk.
Рассмотрим примеры.
ПРИМЕР 1.Вычислить arctg.
Решение. Пусть arctg = х, тогда tgх = и хϵ (- ;). Показать таблицу значений Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;).
Итак, arctg =.
ПРИМЕР 2. Вычислить arctg (-).
Решение. Используя равенство arctg(- а) = - arctg а, запишем:
arctg(-) = - arctg . Пусть - arctg = х, тогда - tgх = и хϵ (- ;). Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;). Показать таблицу значений
Значит - arctg=- tgх= - .
ПРИМЕР 3. Решить уравнение tgх = 1.
1. Запишем формулу решений: х = arctg 1 + πk.
2. Найдем значение арктангенса
так как tg = . Показать таблицу значений
Значит arctg1= .
3. Поставим найденное значение в формулу решений:
ПРИМЕР 4. Решить уравнение tgх = - 4,1(тангенс икс равно минус четыре целые одна десятая).
Решение. Запишем формулу решений: х = arctg (- 4,1) + πk.
Вычислить значение арктангенса мы не можем, поэтому решение уравнения оставим в полученном виде.
ПРИМЕР 5. Решить неравенство tgх 1.
Решение. Будем решать графически.
- Построим тангенсоиду
у= tgх и прямую у = 1(рис.2). Они пересекаются в точках вида х = + πk.
2. Выделим промежуток оси икс, на котором главная ветвь тангенсоиды расположена выше прямой у = 1, так как по условию tgх 1. Это интервал (;).
3. Используем периодичность функции.
Своийство 2. у=tg х - периодическая функция с основным периодом π.
Учитывая периодичность функции у= tgх, запишем ответ:
(;). Ответ можно записать в виде двойного неравенства:
Перейдем к уравнению ctg х = a. Представим графическую иллюстрацию решения уравнения для положительного и отрицательного а (рис.3).
Графики функций у= ctg х и у =а а также
у= ctg х и у=-а
имеют бесконечно много общих точек, абсциссы которых имеют вид:
х = х 1 + , где х 1 - это абсцисса точки пересечения прямой у =а с главной ветвью тангенсоиды и
х 1 = arcсtg а;
х = х 2 + , где х 2 - это абсцисса точки пересечения прямой
у = - а с главной ветвью тангенсоиды и х 2 = arcсtg (- а).
Заметим, что х 2 = π - х 1 . Значит, запишем важное равенство:
arcсtg (-а) = π - arcсtg а.
Сформулируем определение: арккотангенсом а называется такое число из интервала (0;π), котангенс которого равен а.
Решение уравнения ctg х = a записываются в виде: х = arcсtg а + .
Обратим внимание, что уравнение ctg х = a можно преобразовать к виду
tg х = , за исключение, когда а = 0.
С центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .
Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .
Тангенс
Где n - целое.
В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.
График функции тангенс, y = tg x
Котангенс
Где n - целое.
В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.
График функции котангенс, y = ctg x
Свойства тангенса и котангенса
Периодичность
Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .
Четность
Функции тангенс и котангенс - нечетные.
Области определения и значений, возрастание, убывание
Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Область определения и непрерывность | ||
| Область значений | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Возрастание | - | |
| Убывание | - | |
| Экстремумы | - | - |
| Нули, y = 0 | ||
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | - |
Формулы
Выражения через синус и косинус
;
;
;
;
;
Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности
Остальные формулы легко получить, например
Произведение тангенсов
Формула суммы и разности тангенсов
В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента. 
Выражения через комплексные числа
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; .
.
Производная n-го порядка по переменной x
от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >
Интегралы
Разложения в ряды
Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.
При .
при .
где B n
- числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа: 
Обратные функции
Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.
Арктангенс, arctg
,
где n
- целое.
Арккотангенс, arcctg
,
где n
- целое.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.
На этом уроке мы продолжим изучение арктангенса и решение уравнений вида tg x = a для любого а. В начале урока решим уравнение с табличным значением и проиллюстрируем решение на графике, а потом и на круге. Далее решим уравнение tgx = aв общем виде и выведем общую формулу ответа. Проиллюстрируем вычисления на графике и на круге и рассмотрим различные формы ответа. В конце урока решим несколько задач с иллюстрацией решений на графике и на круге.
Тема: Тригонометрические уравнения
Урок: Арктангенс и решение уравнения tgx=a (продолжение)
1. Тема урока, введение
На этом уроке мы рассмотрим решение уравнения для любого действительного
2. Решение уравнения tgx=√3
Задача 1. Решить уравнение
Найдем решение с помощью графиков функций 
(рис. 1).
Рассмотрим промежуток На этом промежутке функция монотонна, значит, достигается только при одном значении функции.
Ответ: 
Решим это же уравнение с помощью числовой окружности (рис. 2).
Ответ: 
3. Решение уравнения tgx=a в общем виде
Решим уравнение в общем виде (рис. 3).
На промежутке уравнение имеет единственное решение 
Наименьший положительный период
Проиллюстрируем на числовой окружности (рис. 4).
4. Решение задач
Задача 2. Решить уравнение
Произведем замену переменной
Задача 3. Решить систему:
Решение (рис. 5):
В точке значение поэтому решением системы является только точка
Ответ: 
Задача 4. Решить уравнение 
Решим методом замены переменной:
Задача 5. Найти число решений уравнения на промежутке 
Решим задачу с помощью графика (рис. 6).
Уравнение имеет три решения на заданном промежутке.
Проиллюстрируем на числовой окружности (рис. 7), хотя это не так наглядно, как на графике.
Ответ: Три решения.
5. Вывод, заключение
Мы решали уравнение для любого действительного используя понятие арктангенс. На следующем уроке мы познакомимся с понятием арккотангенс.
Список литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.
7. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
№№ 22.18, 22.21.
Дополнительные веб-ресурсы
1. Математика.
2. Интернет-портал Problems. ru .
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам.
>> Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = а, ctgx = a
§ 19. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = а, ctgx = a
В примере 2 §16 мы не смогли решить три уравнения:
Два из них мы уже решили - первое в § 17 и второе в § 18, для этого нам пришлось ввести понятия арккосинуса
и арксинуса. Рассмотрим третье уравнение х = 2.
Графики функций у=tg х и у=2 имеют бесконечно много общих точек, абсциссы всех этих точек имеют вид - абсцисса точки пересечения прямой у = 2 с главной ветвью тангенсоиды (рис. 90). Для числа х1 математики придумали обозначение агсtg 2 (читается «арктангенс двух»). Тогда все корни уравнения х=2 можно описать формулой х=агсtg 2 + пк.
Что же такое агсtg 2? Это - число, тангенс
которого равен 2 и которое принадлежит интервалу
Рассмотрим теперь уравнение tg х = -2.
Графики функций 
имеют бесконечно много общих точек, абсциссы всех этих точек имеют вид 
абсцисса точки пересечения прямой у = -2 с главной ветвью тангенсоиды. Для числа х 2 математики придумали обозначение агсtg(-2). Тогда все корни уравнения х = -2 можно описать формулой
Что же такое агсtg(-2) ? Это-число, тангенс которого равен -2 и которое принадлежит интервалу . Обратите внимание (см. рис. 90): х 2 = -х 2 . Это значит, что агсtg(-2) = - агсtg 2.
Сформулируем определение арктангенса в общем виде.
Определение 1. агсtg а (арктангенс а) - это такое число из интервала , тангенс которого равен а. Итак,
Теперь мы в состоянии сделать общий вывод о решении уравнения
х=а: уравнение х = а имеет решения
Выше мы отметили, что агсtg(-2) = -агсtg 2. Вообще, для любого значения а справедлива формула
Пример 1.
Вычислить: 
Пример 2. Решить уравнения:
А) Составим формулу решений:
Вычислить значение арктангенса в данном случае мы не можем, поэтому запись решений уравнения оставим в полученном виде.
Ответ:
Пример 3.
Решить неравенства: 
Неравенство вида можно решать графически, придерживаясь следующего планам
1) построить тангенсоиду у = tg х и прямую у = а;
2) выделить для главной ветви тангейсоиды промежуток оси х, на котором выполняется заданное неравенство;
3) учитывая периодичность функции у = tg х, записать ответ в общем виде.
Применим этот план к решению заданных неравенств.
: а) Построим графики функций у = tgх и у = 1. На главной ветви тангенсоиды они пересекаются в точке
Выделим промежуток оси х, на котором главная ветвь тангенсоиды расположена ниже прямой у = 1, - это интервал
Учитывая периодичность функции у = tgх, делаем вывод, что заданное неравенство выполняется на любом интервале вида:
Объединение всех таких интервалов и представляет собой общее решение заданного неравенства.
Ответ можно записать и по-другому:
б) Построим графики функций у = tg х и у = -2. На главной ветви тангенсоиды (рис. 92) они пересекаются в точке х = агсtg(-2).
Выделим промежуток оси х, на котором главная ветвь тангенсоиды
Рассмотрим уравнение с tg х=а, где а>0. Графики функций у=сtg х и у =а имеют бесконечно много общих точек, абсциссы всех этих точек имеют вид: х = х 1 + пк, где х 1 =агссtg а - абсцисса точки пересечения прямой у=а с главной ветвью тангенсоиды (рис. 93). Значит, агссtg a - это число, котангенс которого равен а и которое принадлежит интервалу (0, п); на этом интервале строится главная ветвь графика функции у =сtg х.
На рис. 93 представлена и графическая иллюстрация решения уравнения с1tg = -а. Графики функций у =сtg х и у = -а имеют бесконечно много общих точек, абсциссы всех этих точек имеют вид х = х 2 + пк, где х 2 = агссtg (- а) - абсцисса точки пересечения прямой у = -а с главной ветвью тангенсоиды. Значит, агссtg(-а) - это число, котангенс которого равен -а и которое принадлежит интервалу (О, п); на этом интервале строится главная ветвь графика функции У =сtg х.
Определение 2.
агссtg а (арккотангенс а) - это такое число из интервала (0, п), котангенс которого равен а.
Итак,
Теперь мы в состоянии сделать общий вывод о решении уравнения сtg х=а: уравнение ctg х = а имеет решения:
Обратите внимание (см. рис. 93): х 2 =п-х 1 . Это значит, что
Пример 4. Вычислить:
А) Положим,
Уравнение сtg х=а практически всегда можно преобразовать к виду Исключение составляет уравнение сtg х =0. Но в этом случае, воспользовавшись тем, что можно перейти к
уравнению соs x=0. Таким образом, уравнение вида х=а самостоятельного интереса не представляет.
А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс
Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки